几道考研数学选择题
1.
题目：
在集合 \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 4x 3 < 0\} \) 中，元素的个数为：
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
答案：
C. \(2\)
解析：
我们需要找到不等式 \(x^2 4x 3 < 0\) 的解集。可以通过求解 \(x^2 4x 3 = 0\) 得到不等式的临界点，然后根据二次函数的凹凸性判断不等式的符号。解方程 \(x^2 4x 3 = 0\) 得到 \(x = 1\) 和 \(x = 3\)。然后可以通过测试点法或者二次函数的凹凸性来确定不等式的符号。因此，\( A = (1, 3) \)，元素个数为 \(2\)。
2.
题目：
已知复数 \(z\) 满足 \(|z 3| = |z 3|\)，则 \(z\) 的轨迹为：
A. 一条直线
B. 一个圆
C. 一条双曲线
D. 一个椭圆
答案：
A. 一条直线
解析：
将复数 \(z\) 用坐标表示为 \(z = x yi\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 是实数，\(i\) 是虚数单位。代入给定条件 \(|z 3| = |z 3|\) 中并展开绝对值得到：
\[
\sqrt{(x 3)^2 y^2} = \sqrt{(x 3)^2 y^2}
\]
将等式两边平方消去根号得到：
\[
(x 3)^2 y^2 = (x 3)^2 y^2
\]
化简可得 \(6x = 0\)，因此 \(x = 0\)。这意味着 \(z\) 在实轴上，轨迹是一条与实轴垂直的直线。
3.
题目：
设函数 \(f(x) = x^3 3x^2 9x 10\)，则 \(f(x)\) 在 \([1, 3]\) 上的最小值为：
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
答案：
D. \(4\)
解析：
要找到函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([1, 3]\) 上的最小值，首先求出其在该区间内的驻点和端点处的函数值，然后比较它们。求导得到 \(f'(x) = 3x^2 6x 9\)，解方程 \(f'(x) = 0\) 可得驻点为 \(x = 1\) 和 \(x = 3\)。计算 \(f(1)\)、\(f(3)\) 和 \(f(3)\) 对应的函数值，发现 \(f(1) = 4\)、\(f(3) = 4\)，且 \(f(x) = 10\) 是一个常数函数，因此最小值为 \(4\)。
4.
题目：
某班学生参加了一次数学竞赛，60%的学生参加了数学竞赛，其中30%的学生获奖。若这个班共有 \(100\) 人，且每个获奖学生会得到 \(500\) 元奖金，那么这次数学竞赛需要支付的奖金总额为：
A. \(7500\) 元
B. \(9000\) 元
C. \(10500\) 元
D. \(12000\) 元
答案：
A. \(7500\) 元
解析：
首先计算参加数学竞赛的学生人数为 \(60\% \times 100 = 60\) 人，然后计算获奖学生人数为 \(30\% \times 60 = 18\) 人。将获奖学生的奖金总额计算为 \(18 \times 500 = 9000\) 元。
5.
题目：
某城市的污水处理厂每天处理 \(5000\) 吨废水。处理过程中，\(80\%\) 的废水被过滤净化，其余的废水需要进一步处理。如果每吨进一步处理的废水需要花费 \(20\) 元，那么每天需要花费多少钱来处理废水？
A. \(40000\) 元
B. \(50000\) 元
C. \(60000\) 元
D. \(80000\) 元
答案：
B. \(50000\) 元
解析：
每天需要进一步处理的废水量为 \(20\% \times 5000 = 1000\) 吨。因此，每天需要花费的总金额为 \(1000 \times 20 = 20000\) 元。但是还要考虑过滤净化的废水所产生的费用，即 \(80\% \times 5000 = 4000\) 吨的废水不需要额外处理，所以总费用为 \(20000 0 = 20000\) 元。
